Bilindiği gibi, bütün sayıların karesi pozitif bir sayıdır.Buna benzer olarak da, pozitif sayıların reel bir karekökü vardır.Yani örneğin, 9 sayısının karekökü 3 sayısıdır çünkü 3 x 3 = 9’dur.Benzer biçimde 16’nın karekökü 4’dür.Bilinen tüm pozitif sayıların karekökü vardır. Peki negatif bir sayının karekökü var mıdır? varsa hesaplanabilir mi? bu sorunun yanıtı, negatif sayıların karekökü vardır olacaktır.Bir negatif sayının karekökü bir sanal sayıdır.
Görünüşte anlamsız olan eksi bir sayının karekökünü alan bir formülü, kağıt üzerinde ilk olarak, italyan matematikçi Cardan yazmıştır. 10 sayısının, çarpımları kırk olan iki parçaya ayrılması olasılığı araştırılırken, bu problemin ussal bir çözümü olmamasına karşın olanaksız sayılan iki anlatım biçiminde bir yanıt elde edilebileceğini gösterdi: Cardan, bu gösterimi çekine çekine yapmış, onları sanal ve anlamsız bulduğunu bildirmişti.Ancak bu gösterim, eksi sayıların kareköklerinin yazılmasına cesaret edilmesinin ilk örneğidir.
Bu çalışmanın ardından, matematik dünyasında karmaşık sayılar sıklıkla kullanılmaya başlanmıştır.
Ünlü alman matematikçi leonard euler, 1770’de yayımlanan “cebir” kitabında, sanal sayıların geniş uygulanışı bulunuyor.Euler, bu sayılarla ilgili olarak, “bu sayılar gerçek değillerdir, sanaldırlar, ne sıfırdan küçük ne de büyüktür.” demiştir.
Denilebilir ki, sanal sayılar ailesi olağan ya da gerçek sayıların aynadaki görüntüleridirler ve gerçek sayılarda olduğu gibi birden başlayıp, bütünüyle aynı yoldan, yani sanal sayılar birimiyle ve genelde 'i' simgesiyle gösterilir.
İlk kez Cardan tarafından yapıldığı gibi, gerçek bir sayı ile sanal bir sayı, tek bir terim oluşturmak için birleştirilebilir.Bu sayılar, karmaşık sayı olarak bilinir.Sanal sayılar matematik alanına girdikten sonra, biri Wessel adında norveç’li bir topograf, öteki Robert Argand adında Paris’li bir muhasebeci olan iki amatör matematikçi tarafından yalın geometrik bir yorum yapılıncaya kadar, yaklaşık iki yüzyıl, bir anlaşmazlık ve giz perdesi altında kaldı.
Wessel ve Argand’ın açıklamalarında, 3 + 4i biçimindeki bir karmaşık sayıda 3, yatay uzaklığı, yani apsisi, 4 düşey uzaklığı, yani ordinatı göstermektedir.
gerçekten de bütün olağan gerçek sayılar (eksi ya da artı), yatay eksen üzerinde kendilerine karşılık olan noktalara, öte yandan bütünüyle sanal olan sayılar da düşey üzerindeki noktalarla gösterilebilirler.
yatay eksen üzerinde gösterilebilen bir gerçek sayıyı, örneğin 3’ü, sanal birim olan 'i' ile çarptığımız zaman bütünüyle 3i sayısını elde ederiz ki bu, düşey eksen üzerinde gösterilebilir. bundan böyle 'i' ile çarpmak, geometrik olarak saat yelkovanının tersi yönde bir dik açı kadar dönmeye eşdeğerdir.
Şimdi bir kez daha i ile çarparsak bir 90 derecelik dönüş daha yapmamız gerekir ki, bu kez sonuç olarak yeniden yatay eksen üzerine ama eksi yana geliriz. bu nedenle:
Böylece görüyoruz ki "i’nin karesi eşittir –1" anlatımı, "iki kez dik açılı bir dönüş ile eksi yana geliriz" anlatımından daha iyi anlaşılabilir.
Kuşkusuz, aynı kural karmaşık sayılar için de doğrudur. 3 + 4i ‘yi 'i' ile çarparsak: saatin tersi yönde 90 derecelik bir dönme elde ederiz.Yani karamaşık düzlemde -4+3i'ye karşılık olan nokta, 3+4i'ye karşılık olan noktanın başlangıç noktası çevresinde dönmesiyle elde edilen noktaya karşılık gelmektedir. bunun gibi –i ile çarpım da yine görülebileceği gibi başlangıç noktası çevresinde ama bu kez saat yelkovanı yönünde bir dönüşten başka birşey değildir.
